ps:（上一道題的題目稍微改了一下，改了一道krylov空間矩陣的問題，這樣主角可以開掛用隨機矩陣的方式解出，但如果是稀疏線方程組的求解問題，以目前主角的知識儲備想要令兩位大佬刮目相看，恐怕有些違和。

所以為了使這個裝的圓潤一些，還是改了題目，見諒）

以下是正文部分：

“設g是nx8的實矩陣，其每個元素均獨立地以o/n的概率滿足標準正態分布，以1?o/n的概率取零，我們想要證明krylov空間矩陣k:=[giAgiA2gi......iA^(-1）g]的條件數在高概率下有exp?(o)的上界。”

看著這道題目，蕭然眉頭不自覺的皺了起來，krylov空間矩陣是一個非典型的隨機矩陣，條件數是最大奇異值和最小奇異值的比例。

最大奇異值是矩陣的一種范數，可以理解為問題的數據規模，而最小奇異值可以理解為這個矩陣非退化的程度，所以這可以理解為矩陣退化的相對程度。

在這道題中，最大奇異值不難估計，難點是怎麼去估計這個隨機矩陣的最小奇異值。

撓了撓頭，蕭然逐漸被這道題吸引了全部的心神。

......

“老陸，你不是說你在家里說一不二嗎？怎麼嫂子一過來你就跟老鼠見了貓一樣？”等到師母走遠，老劉才瞥了老陸一眼，語氣中充滿了鄙視。

老陸聞言緩緩地吐出一口氣，面凝重：“我在家里確實是只敢說一句話，不敢再說第二句，說一不二，有什麼問題嗎。”

老劉：......

“不是我說啊，你這好歹是一家之主，有時候該氣的時候還是要氣點！”老劉恨鐵不鋼地拍了拍老陸的肩膀，給他傳授經驗。

你又比我好到哪里去？

老陸斜著看了他一眼，慢悠悠地說道：“哦，是嗎？那改天我去你家里和蘇梅妹子聊一下，問問伱是如何氣的。”

老劉放在老陸肩膀上的手突然一頓，隨后若無其事地收了回來：“.......咦？蕭然在看什麼呢，這麼迷，半天了都不說話？”

說著埋頭自顧自地朝蕭然那邊走去，好似那邊有什麼吸引他的地方。

此時的蕭然已經完全神了，草稿紙上全都是他潦草混的公式和想法，一時間連老劉什麼時候來到他的旁都沒發現。

“咦！”

走到蕭然旁，看清他在寫什麼的老劉頓時揚了揚眉，驚咦一聲，“這是在研究我和老陸爭論的krylov空間矩陣問題？”

挲了一下下，他再次詫異地看了眼埋頭書寫的蕭然，又低頭看了眼他寫出來的各種行列式，“老陸，過來！”

老劉頭也不抬地對著不遠的老陸招了招手。

“怎麼了？”老陸走了過來，不著頭腦。

“小聲點，你學生正在研究我們剛才討論的那道題。”

“我看看。”老陸聞言連忙探過頭看了一眼，“嗯，還真是，這孩子倒真是對數學的純粹，來我家里也不忘鉆研數學。”

語氣間對蕭然一萬個滿意。

“還真讓你撿到寶了。”老劉酸溜溜地說道，神間說出去的羨慕。

老陸得意地擺了擺手，故作矜持道：“以我的水平估計也只能再教他兩三年的時間，到那時他想要在數學上取得突破，就要靠他自己的造化了。”

“行了行了，裝給誰看呢！”老劉笑罵一聲，接著又低下頭看了眼蕭然的草稿，若有所思：“你覺得蕭然能不能解出這道題？”

老陸聞言也仔細看了眼蕭然列出的各種行列式，皺了皺眉頭：“這道題有點怪，它的元素滿足的是稀疏高斯分布，而要證明結果要滿足的卻是高斯分布，這意味著我們需要一個工建立這兩者之間的聯系......”

“可這個工到底該用什麼，說實話，我也只有一些淺的想法，我想的是使用markov不等式估計概率，這主要是利用到聯合高斯分布的質是服從聯合高斯分布的兩個獨立向量的和，依然服從聯合高斯分布，但這之后，我并不確定高斯分布替換均勻分布或者伯努利分布之后還能否得到多項式界......”

“另外，這道題的難點主要在于如何估計這個隨機矩陣的最小奇異值，而想要估計隨機矩陣的最小奇異值，最主要的難點是如何突破隨機矩陣理論中元素之間的獨立，如果無法解決這一步，這道題的證明也就無從談起。”

隨機矩陣理論起源于對理模型的研究，人們在早期實驗中發現，一些大型隨機矩陣的特征值與奇異值的分布常常趨近于某些特定的分布，并由此提出了如半圓律、圓律與marko-pastur律之類關于極限分布的定律。

這些定律的假設和結論類似于經典概率論里的中心極限定理（即大量相互獨立的隨機數之和的分布常常趨近于正態分布），這需要假設矩陣元素除了特定結構以外相互獨立，再讓維度趨于無窮。

盡管如此，極限畢竟是極限，從不等式估計的角度來看，用起來還是不太順手的。

大約從上世紀80年代末開始，人們開始研究非漸進意義下的奇異值的估計，其中最核心的部分就是對于最小奇異值的估計。

隨機矩陣的發展也從一開始首先理了獨立同分布的矩陣元素服從高斯分布的形，逐漸放松要求，開始不要求高斯分布，不要求同分布，并且得到了越來越準的估計。

但這其中最難放松的條件依舊是獨立，這要求，一是改要求矩陣的各行相互獨立。

二是要求矩陣有額外的結構，如對稱，而除此以外相互獨立。

三是要求矩陣元素之間的相關隨在矩陣中的位置的距離而指數級衰減......

“從蕭然的草稿上來看，他似乎使用的是vC-維數對示函數應用熵方法，但這對最小奇異值的要求更加嚴格，在這種條件下他使用熵方法恐怕不能得到有效的結果......”

“除非他能找到一個工來估計vC-維數并繞過熵方法......”

老陸越看，眉頭皺的越。

抬起頭，他問道：“老劉，你是從哪找到的這麼個難題？”

老劉有些不好意思地笑道：“這是今年菲爾茲獎的得主在上個月的國際數學家大會上做報告時，偶然提出的一個問題，我當時對這個問題有些興趣，就拿了過來，準備借這個問題發一篇sCi論文。”

說著，他嘆了口氣，無奈道：“可是研究了半天，依舊無法解決這其中各元素之間獨立的問題，這時我才想到你，你在隨機矩陣方面的研究比我深一點，想著看你有什麼辦法給我提供點靈。”

“結果發現，算是白來了！”老劉說著白了老陸一眼，悠悠道：“算了，我還是自己回去研究吧。”最近轉碼嚴重，讓我們更有力，更新更快，麻煩你小手退出閱讀模式。謝謝